Теорема Гаусса

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность.

Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре будет иметь вид:

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить сферу (как показано на рисунке ниже) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд, то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее, что мы видим на рисунке ниже:

Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, т.к. поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность.

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, т.к. число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.

Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q поток вектора напряженности будет иметь вид:

При этом знак потока совпадает со знаком заряда Q.

В соответствии с принципом суперпозиции напряженность E поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей E_i, создаваемых каждым зарядом в отдельности.

Поэтому

Так как каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Q/ε₀, получаем:

Вышеуказанная формула выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри самой поверхности зарядов, деленной на ε₀.

Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М.В. Остроградским, а затем независимо от него применительно к электростатическому полю - К.Гауссом.